Puedes poner el liston como dices, pero además yo cambiaria las tablas de los laterales, que eso es facil es comprar una tabla del Leroy Merlin y hacerle los agujeros para encajar las puertas.
Para la puerta que se te descuelga, puedes cambiar las bisagras y yasta. Es una solucion muy provisional pero estamos hablando de un zapatero de madera, otra opcion sería cambiar entero y comprarte otro, que no es algo que valga mucho.